( ) ( ) ( ) 1- العبارة الدالة العبارية العبارة نشاط نقاش 8 4= 32. p q r s t تعريف. و t عبارات ليس بعبارتين. s و r و q و p النصان عبارة.

Transkript

1 مبادئ في المنطق I- تعاريف ومصطلحات - الدالة العبارية أ- نشاط ضع العلامة في الخانة المناسبة نص رياضي صحيح خاطي لا يمكن الحكم على صحتها أو خطي ها بدون نقاش 8 4= 3 r s t ( y ; ) مجموع عددين فرديين هو عدد زوجي آل عدد فردي هو عدد أولي الدالة حيث دالة زوجية. y / عنصران من y و ( ) : أ- نسمي عبارة آل جملة خبرية تحمل معنى و يكون صحيحا أو خاطي ا و لا يمكن أن يكون صحيحا و خاطي ا في نفس الوقت.نرمز للعبارة با حد الرموز أو أو... r النصوص النصان s و r و و ( y ; ) و و t عبارات ليس بعبارتين y / ب-الدالة عبارية في النشاط السابق * اذا عوضنا و y بعددين معلومين في التعبير و y عنصران من = y = 6 عبارة. مثلا من أجل = = 4 y من أجل y عنصران من لذا نقول التعبير " و : * التعبير " نحصل على نحصل على 6 4 / y " دالة عبارية عبارة خاطي ة عبارة نحصل على "دالة عبارية لا ن إذا عوضنا با ي قيمة من نحصل على عبارة عبارة مثلا من أجل = من أجل = عبارة خاطي ة آل نص رياضي يحتوي على متغير أو (متغيرات) ينتمي(أو تنتمي) إلى مجموعة معينة و يصبح عبارة آلما عوضنا هدا المتغير بعنصر محدد من هذه المجموعة يسمى دالة عبارية - المكممات العبارات المكممة أ- المكمم الوجودي لتكن E ; دالة عبارية ( E ): ( ) تعني يوجد على الا قل عنصرا الرمز يسمى المكمم الوجودي. إذا آان يوجد عنصرا وحيدا من E يحقق. ( ) يحقق E من (! E ): ( فا ننا نكتب( ( ) htt://arabmaths.ift.fr Moustaouli Mohamed

2 , E من تقرأ لكل. ( ) ب- المكمم الكوني ) ( لتكن E ; دالة عبارية ( E ): ) ( محقق تعني أن جميع عناصر E تحقق ) أو ). ( ) الرمز يسمى المكمم الكوني. ضع العلامة في الخانة المناسبة = 4! [ ; π ] cos = خاطي ة =! 4 ; y y = E F د- العبارات المكممة ; دالة عبارية معرفة معرفة على لتكن y ( ; ( E ) : ( ; نطبق أحد المكممين على الخاصية مثلا المكمم الكوني نحصل على بالنسبة للمتغير دالة عبارية للمتغير y وهي غير مرتبطة ب. نطبق عليها أحد المكممين بالنسبة للمتغير. y مثلا المكمم الوجودي ( =. ( y F) ( E ) ( ; فنحصل على ) y y y = ( ) ( y ) + y = ( y ) ( ) + y = ( ) ( y ) + y + y ( ) ( y ) + y = 3 عبارة خاطي ة عبارة عبارة خاطي ة عبارة. (نا خد عبارة. هامة ترتيب مكممات من نفس الطبيعة ليس له أهمية في تحديد المعنى التي تحمله المكممة. ترتيب مكممات من طبيعة مختلفة له أهمية في تحديد المعنى التي تحمله المكممة. -II العمليات المنطقية - نفي عبارة في حوار جرى بين فاطمة و أحمد, أساسه أن آل ما قالته فاطمة ينفيه أحمد و آل نشاط: ما قاله أحمد تنفيه فاطمة, أنقل الجدول التالي إلى دفترك ثم أملي ه : حكمك على قول حكمك على قول أحمد فاطمة ما قاله أحمد ما قالته فاطمة IN 7+ 5 ( ) = 49 عدداولي htt://arabmaths.ift.fr Moustaouli Mohamed

3 أو ب هي عبارة نرمز لهاب أ- نفي عبارة تقرأ نفي. خاطي ة إذا آانت في جدول الحقيقة: Tableau de vérité إذا آانت نرمز لصحتها بالرمز جدول حقيقة تكون إذا آانت خاطي ة و تكون أو V وإذا آانت خاطي ة نرمز لعدم صحتهاب أوF. E A( X ). E A( X ) ( E ) ( y F) A( ; ( E ) ( y F) A( ; ( ) ] ;[ ; : هي نفي نفي 3 هي 3 ب- نفي عبارة مكممة * نفي هي ) X E A( هي ) X E A( هي ( E ) ( y F) A( ; ( E ) ( y F) A( ; * نفي * نفي نفي مثال اعط نفي التالية هي ( ] [) z y + y z د- نتيجة ) الاستدلال بالمثال المضاد) للبرهان على أن عبارة ما خاطي ة يكفي أن نبين أن نفيها للبرهنة على خطا يكفي أن نبرهن صحة. ( E ): A( ) ( ) : + * خاطي ة ادن لدينا عبارة ( E ) : A( ) ( ) تطبيق بين أن + : 5 نعتبر = = + * ( خاطي ة و منه + ): - الفصل المنطقي فصل العبارتين و * هو التي تكون إذا آانت على الا قل إحدى العبارتين و و تكتب ) أ و ) نكتبها أيضا ( 5 صحيحتين. جدول حقيقة 3 خاطي ة و ) أ و تحملان نفس المعنى نقول عملية الفصل تبادلية 3 أو 4 = ( أ و العبارتان ) * htt://arabmaths.ift.fr Moustaouli Mohamed 3

4 تحملان نفس المعنى نقول عملية الفصل و ) r أو ( أ و ) أ و * العبارتان r أو( تجميعية. و هو التي تكون فقط إذا آانت العبارتان و 3- العطف المنطقي عطف العبارتين ) نكتبها أيضا و و تكتب( صحيحتين معا. 5 خاطي ة 3 و 3 و مثال جدول حقيقة تحملان نفس المعنى نقول عملية العطف تبادلية ( و ) و ) و العبارتان ) * تحملان نفس المعنى نقول عملية العطف تجميعية. و و ) r و ( ) و * العبارتان r و( بين ذلك = = * خاطي ة. و هو التي تكون خاطي ة فقط إذا آانت و 4- الاستلزام استلزام العبارتين تستلزم و تكتب تقرأ جدول حقيقة.. ( ) 4+ = 5 + = خاطي ة 3 = 9 5 = 3 = اصطلاح إذا آانت نقول إن * العبارتان * * نقول إن و تحملان نفس المعنى استنتاج منطقي للعبارة ( ) يسمى الاستلزام العكسي للاستلزام. للبرهنة على أن يكفي أن نفترض أن شرط آاف لتحقيق و نبين أن تطبيقي ليكن htt://arabmaths.ift.fr Moustaouli Mohamed 4

5 و بين أن و نبين أن ( ) نفترض أن 5- التكافو المنطقي عبارتين و ليكن وتكون إذا آانت و ( تسمى تكافو العبارتين و ) أو إذا وفقط إذا أو و تقرأ تكافي لها ب لهما نفس قيم الحقيقة و نرمز شرط لازم و آاف لتحقيق جدول حقيقة ( 3 (5 عدد فردي -) عدد موجب 3 = 5+ ( ) ( خاطي ة * نقول إن التكافو عملية تبادلية نقول إن التكافو عملية تجميعية ( r ) (( ) r) نقترح عليك برهانين نستعمل فيهما الرمز " " بطريقة مسترسلة. أحد البرهانين خاطي. و المطلوب منك التعرف عليه مع إعطاء تعليل لجوابك ( ) ( ) ( ) : من IR لدينا : لدينا * + من * ( ليكن ( ليكن باستعمال جداول الحقيقة بين أن و r ; ;...مرتبطة بينها بالعمليات المنطقية و تكون ( ) ( ) ( ) -III القوانين المنطقية آل عبارة مكونة من عبارتين أو عدة عبارات مهما آانت العبارات r ; ;...تسمى قانونا منطقيا - أنشطة بين أن العبارات التالية قوانين منطقية htt://arabmaths.ift.fr Moustaouli Mohamed 5

6 قانون منطقي و يسمى القاعدة العامة للاستدلال الاستنتاجي. ( ( ) ) ( ) ( r) ( r) و اصطلاح * لدينا ( ) للبرهان على صحة. عبارة ما ثم نستنتج أن نبين أن الاستلزام صحيحا حيث r) ( ) ( قانون منطقي نقول إن الاستلزام عملية متعدية. r) ( * لدينا LOIS DE - بعض القوانين المنطقية *أ- قوانين مورآان MORGAN العبارات التالية قوانين منطقية ( r) ( ) ( r) ( r) ( ) ( r) تطبيق حل في النظمة y = y = الحل ; y S y = y = + y = صحبحا. ( y = y = ) ( y = + y = ) ( = y = ) = y = 3 3 اذن ; ); ; ( = S 3 3 : + اعط نفي العبارات + y y ( ; [ ;] + y *ب- قانون التكافو ات المتتالية C) ( A B) ( B قانون منطقي ( C ( A نتيجة ) الاستدلال بالتكافو ات المتتالية) نستنتج من هذا القانون أنه اذا آان ) B ( A و B C فان( ( A C A ( ; ليكن + y بين أن ;8) ( = ) y + y 4 = ( ; * د- قانون الاستلزام المضاد للعكس A) ( A B) ( B قانون منطقي في بعض الا حيان يصعب البرهان على صحة A B فنلجا الى البرهان على صحة B A ثم نستنتج صحة B هذا البرهان يسمى الاستدلال بالاستلزام المضاد للعكس htt://arabmaths.ift.fr Moustaouli Mohamed 6

7 ج* ليكن + 8 بين أن + 5 نتيجة B) ( A B) ( A قانون منطقي - قانون الخلف ) ( قانون منطقي ( B C B C ) B نتيجة ) الاستدلال بالخلف) B C ( أي C B ونبين أن نفترض أن B C ) Cعبارة ما ) أي ( حيث B C لا يمكن أن تكون و خاطي ة في نفس الوقت.ثم نستنتج أن و هذا تناقض لا ن. هذا نوع من الاستدلال يسمى الاستدلال بالخلف. برهن أن * ر- قانون فصل الحالات )) C (( A B) ( B قانون منطقي ( A B) C B C A B فانه للبرهنة على صحة C نبين أن A C و إذا آانت ثم نستنتج أن C. هذا الاستدلال يسمى الاستدلال بفصل الحالات A A داي ما. ( A C ) ( A C ) C لا ن عمليا نطبق + = المعادلة حل في ( n ) -VI مبدأ الترجع خاصية لتكن خاصية لمتغير n صحيح طبيعي ( n ) إذا آان يوجد عدد صحيح طبيعي و إذا آانت n بحيث تكون. ( n n ) ( n) : + n n n n. فان +) n (. ( n n ) ( n) :. للبرهان على أن التحقق: نتحقق أن نتبع الخطوات التالية n n ) ( n ( n ) افتراض الترجع: نفترض أن هذا الاستدلال يسمى الاستدلال بالترجع n بين بالترجع 4 n n * n( n+ )( n+ ) n n = 6 و نبين أن htt://arabmaths.ift.fr Moustaouli Mohamed 7